链接
https://ac.nowcoder.com/acm/contest/879/A
题意
完全图中从 点 $1$ 出发，经过 $k$ 条边（可重复）回到点 $1$ 的方案数。
思路一
设矩阵 $A$ 中每个元素都为 $1$，矩阵 $I$ 为单位矩阵，
所以根据题意，我们要求的就是 $(A-I)^k_{0,0}$。
根据矩阵二项式定理：$(A-I)^k=\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}A^i(-1)^{k-i}$。
所以
$\begin{aligned}
(A-I)^k_{0,0} &=\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}n^{\max(0,i-1)}(-1)^{k-i}\
&=\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}\frac{n^{\max(1,i)}}{n}(-1)^{k-i}\
&=\frac{1}{n}((n-1)^k-\binom{k}{0}n^{0}(-1)^{k}+\binom{k}{0}n^{1}(-1)^{k})\
&=\frac{(n-1)^k+(-1)^k(n-1)}{n}\
\end{aligned}$
代码一
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| #include <bits/stdc++.h>
#define SZ(x) (int)(x).size()
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
#define PB push_back
#define EB emplace_back
#define MP make_pair
#define FI first
#define SE second
using namespace std;
typedef double DB;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
typedef vector<PII> VPII;
const int MOD=998244353;
LL n,k;
LL qpow(LL a,LL b) {
LL ret=1;
while(b) {
if(b&1) ret=ret*a%MOD;
a=a*a%MOD;
b>>=1;
}
return ret;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin>>n>>k;
cout<<(qpow(n-1,k)+(n-1)*(k&1?-1:1)+MOD)%MOD*qpow(n,MOD-2)%MOD<<'\n';
return 0;
}
|
思路二
记 $dp_{i,1}$ 为经过 $i$ 条边在点 $1$ 的方案数，$dp_{i,0}$ 为经过 $i$ 条边不在点 $1$ 的方案数。
转移方程：
$\begin{cases}
dp[i][1]=dp[i-1][0]\
dp[i][0]=(n-1)dp[i-1][1]+(n-2)dp[i-1][0]
\end{cases}$
构造矩阵加速递推。
代码二
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| #include <bits/stdc++.h>
#define SZ(x) (int)(x).size()
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
#define PB push_back
#define EB emplace_back
#define MP make_pair
#define FI first
#define SE second
using namespace std;
typedef double DB;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
typedef vector<PII> VPII;
const LL MOD=998244353;
int sz;
struct M {
LL a[105][105];
void clear() {memset(a,0,sizeof a);}
M() {clear();}
void init() {
clear();
for(int i=0;i<sz;i++) a[i][i]=1;
}
M operator + (const M &T) const {
M ret;
for(int i=0;i<sz;i++)
for(int j=0;j<sz;j++)
ret.a[i][j]=(a[i][j]+T.a[i][j])%MOD;
return ret;
}
M operator - (const M &T) const {
M ret;
for(int i=0;i<sz;i++)
for(int j=0;j<sz;j++)
ret.a[i][j]=(a[i][j]-T.a[i][j]+MOD)%MOD;
return ret;
}
M operator * (const LL &v) const {
M ret;
for(int i=0;i<sz;i++)
for(int j=0;j<sz;j++) {
if(!a[i][j]) continue;
ret.a[i][j]=a[i][j]*v%MOD;
}
return ret;
}
M operator * (const M &T) const {
M ret;
for(int i=0;i<sz;i++)
for(int k=0;k<sz;k++) {
LL t=a[i][k];
if(!t) continue;
for(int j=0;j<sz;j++) {
if(!T.a[k][j]) continue;
ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+T.a[k][j]*t%MOD)%MOD;
}
}
return ret;
}
M operator ^ (LL b) const {
M ret,bas;
for(int i=0;i<sz;i++) ret.a[i][i]=1;
for(int i=0;i<sz;i++)
for(int j=0;j<sz;j++)
bas.a[i][j]=a[i][j];
while(b) {
if(b&1) ret=ret*bas;
bas=bas*bas;
b>>=1;
}
return ret;
}
void print() {
for(int i=0;i<sz;i++)
for(int j=0;j<sz;j++)
cout<<a[i][j]<<" \n"[j==sz-1];
}
};
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
LL n,k;
cin>>n>>k;
sz=2;
M t1,t2;
t1.a[0][0]=1;
t2.a[1][0]=1,t2.a[0][1]=n-1,t2.a[1][1]=n-2;
t1*=t2^k;
cout<<t1.a[0][0]<<'\n';
return 0;
}
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