2020牛客暑期多校训练营（第三场）F. Fraction Construction Problem

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https://ac.nowcoder.com/acm/contest/5668

题意

已知 $a,b(a,b\le2\times10^6)$

求 $c,d,e,f$ 满足一下要求

  • $\frac{c}{d}-\frac{e}{f}=\frac{a}{b}$
  • $d<b,f<b$
  • $1\le c,e\le 4\times10^{12}$

思路

设$g=gcd(a,b)$

情况一：$g\ne1$

$\frac{a}{b}$ 的最简形式为 $\frac{a/g}{b/g}$，根据最简分数的唯一性可得 $d=b/g,e=b/g,c-e=a/g$，另 $e=1$，所以 $c=a/g+1$

情况二：$g=1$

  • b的不同的质因数的个数小于 $1$

    无解

    设$b=p^k$，因为 $g=1$，所以 $\frac{a}{b}$ 就是最简分数，那么 $\frac{c}{d}-\frac{e}{f}$ 的最简形式就是 $\frac{a}{b}$，又因为 $d<b,f<b$，所以 $d$ 和 $f$ 中质因数 $p$ 的个数都小于 $k$，所以不成立

  • b的不同的质因数的个数大于 $1$

    另 $d*f=b$ 且 $gcd(d,f)=1$，用扩展欧几里得算法求解 $cf-ed=a$

代码

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#include<bits/stdc++.h>
#define SZ(x) (int)(x).size()
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
#define PB push_back
#define MP make_pair
#define FI first
#define SE second
#define int long long
using namespace std;
typedef double DB;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
typedef vector<PII> VPII;
//head
const int N=2e6+5;
int m,p[N],mn[N];  //mn[i] 为 i的最小质因数
void Euler_seive(int n) {  //注意筛后 mn[1]=0
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        if(mn[i]==0) mn[i]=i,p[++m]=i;
        for(int j=1;j<=m;j++) {
            if(p[j]>mn[i]||p[j]*i>n) break;
            mn[i*p[j]]=p[j];
        }
    }
}
int gcd(int a,int b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
    if(b==0) {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ret=exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;
    x=y;
    y=z-(a/b)*y;
    return ret;
}
int get(int x) {
    if(mn[x]==x||x==1) return x;
    int ret=1;
    int t=x;
    while(t%mn[x]==0) t/=mn[x],ret*=mn[x];
    return ret;
}
signed main() {
    Euler_seive(2000000);
     int T;
     scanf("%lld",&T);
     while(T--) {
         int a,b;
         scanf("%lld%lld",&a,&b);
         int c,d,f,e;
         int g=gcd(a,b);
         if(g!=1) printf("%lld %lld %lld %lld\n",a/g+1,b/g,1,b/g);
         else {
            f=get(b);
             if(f==b) puts("-1 -1 -1 -1");
             else {
                 d=b/f;
                 g=exgcd(f,d,c,e);
                 if(c<0) printf("%lld %lld %lld %lld\n",e*a,f,-c*a,d);
                 else printf("%lld %lld %lld %lld\n",c*a,d,-e*a,f);
             }
         }
     }
    return 0;
}