链接
https://ac.nowcoder.com/acm/contest/8282/D
题意
$T$ 次询问，求 $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mu(ij)$ $(T,n\le 5e4)$
思路
$\begin{aligned}
& \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mu(ij) \
= & \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mu(ij)[\gcd(i,j)=1] \
= & \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mu(ij)\sum_{d\mid\gcd(i,j)}\mu(d) \
= & \sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(id)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(jd) \
= & \sum_{d=1}^n\mu(d)(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(id))^2
\end{aligned}$
对于 $n\in[kd,(k+1)d)$，$(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(id))^2$ 相等。
预处理 $(\sum_{i=1}\mu(id))^2$ 时，将贡献差分，最后 $O(1)$ 询问。
预处理的时间复杂度为 $O(n\log(n))$。
代码
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| #include <bits/stdc++.h>
#define SZ(x) (int)(x).size()
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
#define PB push_back
#define EB emplace_back
#define MP make_pair
#define FI first
#define SE second
using namespace std;
typedef double DB;
typedef long double LD;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
typedef vector<PII> VPII;
const int N=5e4+5;
int mn[N],mu[N];
LL sum[N],res[N];
VI p;
void get_mu(int n) {
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++) {
if(!mn[i]) mn[i]=i,mu[i]=-1,p.PB(i);
for(auto x:p) {
if(x*i>n) break;
mn[x*i]=x;
if(i%x==0) {mu[x*i]=0;break;}
mu[x*i]=-mu[i];
}
}
}
void init(int n) {
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=i;j<=n;j+=i) {
sum[i]+=mu[j];
res[j]+=mu[i]*sum[i]*sum[i];
if(j+i<=n) res[j+i]-=mu[i]*sum[i]*sum[i];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) res[i]+=res[i-1];
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
get_mu(5e4);
init(5e4);
int T;cin>>T;
while(T--) {
int n;cin>>n;
cout<<res[n]<<'\n';
}
return 0;
}
|